概率论公式笔记02
多元随机变量
联合分布列
\(P_{X, Y}(x, y)=P(\{X=x, Y=y\})\), 是同时满足事件 \(\{X=x\}\) 和 \(\{Y=y\}\) 的概率。 用二维表格表示随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的联合分布列:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text { y4 } & 0 & 1 / 20 & 1 / 20 & 1 / 20 \\ \hline y 3 & 1 / 20 & 0 & 1 / 20 & 1 / 20 \\ \hline y 2 & 1 / 20 & 1 / 20 & 3 / 20 & 2 / 20 \\ \hline y 1 & 1 / 20 & 1 / 20 & 3 / 20 & 2 / 20 \\ \hline & x 1 & x 2 & x 3 & x 4 \\ \hline \end{array} \]
- 可以获得随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的联合概率, 例如:
\[ P_{X, Y}\left(x_{3}, y_{2}\right)=P\left(X=x_{3}, Y=y_{2}\right)=3 / 20 \]
- 对于由随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 构成的任意事件集合也一样, 定义事件集合 \(A=\left\{\left(x_{1}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{2}\right),\left(x_{4}, y_{4}\right)\right\}\), 从联合分布列中计算出事件集合总概率:
\[ P((X, Y) \in A)=\sum_{(x, y) \in A} p_{X, Y}(x, y)=1 / 20+3 / 20+1 / 20=5 / 20 \]
- 二维表中所有联合概率相加结果是1, 满足归一性。
边缘分布列
随机变量 \(X\) 的边缘分布列:
\[ p_{X}(x)=P(X=x)=\sum_{y} P(X=x, Y=y)=\sum_{y} P_{X, Y}(x, y) \]
随机变量 \(Y\) 的边缘分布:
\[ p_{Y}(y)=P(Y=y)=\sum_{x} P(X=x, Y=y)=\sum_{x} P_{X, Y}(x, y) \]
随机变量 \(X\) 的边缘分布列及其任意一个边缘概率的取值只与自己有关, 与其他随机变量无关。
而对应的联合分布列和联合概率，里面的取值由所有随机变量共同决定。
